RELASI DAN FUNGSI

v Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan atau hubungan yang memasangkan anggota – anggota himpunan A ke anggota – anggota himpunan B. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu : diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius

v Fungsi

Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi khusus dari A ke B yang memetakan setiap  dinotasikan sebagai berikut :

Pada fungsi diatas, himpunan A disebut daerah asal atau domain, dinotasikan oleh D, yaitu himpunan asal semua unsur pemetaan. Himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain dinotasikan oleh K, yaitu himpunan tujuan pemetaan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range atau daerah hasil, dinotasikan oleh R. R merupakan himpunan bagian dari kodomain.

Fungsi dapat dinyatakan dengan cara yang sama dengan menyatakan relasi antara dua himpunan.

A.FUNGSI LINIER

1.     Bentuk Umum Fungsi Linear

Fungsi linear memiliki variable dengan pangkat tertinggi satu. Fungsi menetapkan setiap x  R ke suatu bentuk ax + b, dengan a ≠ 0, a dan b konstanta.

2.    Grafik Fungsi Linear

Untuk garis pada bidang Cartesius dengan persamaan y = mx + c dapat dilakukan dengan menentukan 2 titik yang memenuhi persamaan. Selanjutnya kedua titik dihubungkan menjadi sebuah garis.

3.    Gradien Persamaan Garis Lurus

Adalah kemiringan pada kurva atau grafik fungsi linear. Gradient persamaan garis dengan cara :

a.   Bila suatu persamaan dengan bentuk y = mx + c, maka gradiennya adalah m

b.  Bila suatu persamaan dengan bentuk ax + by + c = 0 atau ax + by = -c, maka gradiennya adalah

c.   Bila persamaan garis lurus melalui 2 titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂), maka gradiennya adalah

4.    Menentukan Persamaan Garis lurus

ü Persamaan Garis melalui Sebuah Titik (x₁, y₁) dan Gradien m. Dengan rumus y – y₁ = m(x – x₁)

ü Persamaan Garis Melalui 2 titik (x₁, y₁) dan (x₂, y₂). Dengan rumus :

Cara 1 :

a.    Tentukan nilai gradient dengan rumus :

b.    Gunakan rumus persamaan garis y – y₁ = m(x – x₁)

Cara 2 :

Persamaan garis di tentukan dengan rumus :

ü Persamaan Garis Melalui Titik Potong Sumbu X dan Sumbu Y. Dengan rumus : bx + ay = ab

5.    Kedudukan Dua Garis Lurus :

·      Dua Garis Saling Berpotongan.

Dua garis lurus misal garis k dan garis l saling berpotongan apabila kedua gradient garis tersebut tidak sama : m­₁ ≠ m₂. Titik potong dari dua garis lurus dapat ditentukan dengan cara eliminasi ataupun substitusi.

·      Dua Garis Saling Sejajar

Kedudukan dua garis lurus saling sejajar (//) apabila terdapat hubungan antara dua gradiennya : m_{1 =} m₂. Dengan m₁ adalah gradien garis pertama dan m₂ adalah garis kedua gradien.

·      Dua Garis Saling Tegak Lurus

Kedudukan dua garis akan saling tegak lurus apabila hubungan antara dua gradiennya : m₁ . m₂ = -1 atau

B. FUNGSI KUADRAT

1.     Pengertian

Suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan dengan rumus fungsi :  disebut fungsi kuadrat.

2.    Sifat – sifat Grafik Fungsi Kuadrat

ü Berdasarkan Nilai a

a.   Jika a > 0 (positif), maka grafik atau parabola terbuka ke atas. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan y_min, atau titik balik minimum.

b.  Jika a > 0 (negatif), maka grafik atau parabola terbuka ke bawah. Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan y_maks, atau titik balik maksimum.

ü Berdasarkan Nilai Diskriminan (D) :

a.   Jika D > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.

b.  Jika D = 0, maka grafik menyinggung sumbu X di (x,0) disebuah titik.

c.   Jika D < 0, maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

3.    Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

a.    Menentukan titik potong dengan sumbu x

b.    Menentukan titik potong dengan sumbu y

c.    Menentukan sumbu simentri dan koordinat titik balik.

d.    Menentukan beberapa titik bantu lainnya.

4.    Menerapakan Fungsi Kuadrat

a)  Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui atau Unsur-unsurnya.

Persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c apabila grafik fungsi melalui tiga titik.

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c apabila diketahui 2 titik potong terhadap sumbu x dan 1 titik yang lainnya. Dengan rumus :                       

Fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c apabila diketahui titik Puncaka Grafik (x_p,y_p) dan satu titik lainnya. Dengan rumus :

b) Penerapan Fungsi Kuadrat

Dalam penerapan fungsi kuadrat, nilai maksimum maupun minimum suatu fungsi kuadrat.

C. FUNGSI EKSPONEN

Misalkan bilangan real a>0 dan a≠1. Untuk bilangan rasional x kita dapat menentukan dengan tunggal bilangan real ax sehingga suatu fungsi : f : x àa^x yang menentukan setiap bilangan rasional x ke perpangkatan dari a.

Karena x pada a^x adalah suatu pangkat atau eksponen, maka:  

Dinamakan fungsi eksponen dengan bilangan pokok a dan daerah asal Q. Sebelum  menggambar suatu fungsi eksponen, akan lebih mudah dengan membuat tabel nilai x dan y sebagai titik bantu. Lalu hubungkan titik-titik tersebut untuk mendapat kan grafik fungsi eksponen, seperti gambar dibawah ini:

Fungsi eksponen pada umumnya digunakan untuk menyatakan pertumbuhan atau pelarutan yang kadar perubahannya tidak konstan. Banyak hal dalam kehidupan sehari-hari yang pertumbuhan atau peluruhannya berubah secara tidak konstan tetapi tergantung pada jumlah materi dan waktu. Contoh : nilai akhir modal yang disimpan di bank, pertumbuhan organisme populasi penduduk, peluruhan (waktu paruh) radioaktif, perubahan suhu, atau kecepatan reaksi kimia.

D.FUNGSI LOGARITMA

Logaritma merupakan kebalikan dari eksponen. Begitu juga dengan fungsinya, fungsi logaritma didefinisikan : f(x) = ^alog x

Daerah asal dan daerah hasil fungsi f tersebut adalah himpunan bilangan real.

E. FUNGSI TRIGONOMETRI

1. Bentuk dan Nilai Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri memetakan bilangan real x pada perbandingan trigonometrinya. Antara lain, fungsi trigonometri  memetakan x pada  (fungsi sinus),  (fungsi cosinus),  (fungsi tangen).

Nilai fungsi trigonometri perlu dihitung untuk memudahkan dalam menggambarkan grafik fisik trigonometri. Nilai fungsi yang kita pelajari yaitu fungsi dari sudut – sudut istimewa. Berikut ini diberikan tabel  nilai fungsi trigonometri sinus, kosinus, dan tangen beberapa sudut khusus.

	0o	30o	45o	60o	90o
Sin x	0				1
Cos x	1				0
Tan x	0		1		-

2. Grafik Fungsi Trigonometri

Secara umum grafik fungsi trigonometri dapat digambar dengan menggunakan batuan tabel maupun lingkaran satuan, yaitu lingkaran dengan jari – jari satu satuan.

# Latihan

1.   Suatu fungsi f dinotasikan dengan f : x à 2x – 3. Jika kodomainnya himpunan bilangan real dan daerah asalnya {-1,0,1,2,3}, tentukan :

a.   Rumus fungsi

b.  Range

c.   Himpunan pasangan berurutan

d.  Banyangan (peta) dari 10

2.  Suatu fungsi linear ditentukan oleh y = 4x – 2 dengan daerah asal {x|-1 ≤x≤2, x  R}. Buat tabel titik-titik yang memenuhi persamaan diatas.

3.  Tentukan gradien persamaan garis berikut :

a.    Y = 3x – 4

b.    2x – 5y = 7

4.  Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-3,0) dan (0,4).

5.  Tentukan koordinat titik potong dari dua garis dengan persamaan 2x – 3y + 13 = 0 dan x + 2y = 4.

6.  Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (2, -3) dan sejajar dengan garis x-2y+3=0.

7.  Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x -3y - 10 = 0.

8.  Yudhis menabungkan uang sebesar Rp. 500.000,00 pada sebuah bank yang memberikan suku bunga majemuk 8% per tahun. Tentukan banyak tabungan Yudhis setelah 10 tahun tanpa pengambilan.

9.  Nyatakan persamaan berikut ke dalam bentuk logaritma yang ekuivalen

a.    8 = 2³

b.   

10.   Tentukan nilai fungsi f(x) = tan x = 45^o dan x = 120^o.

#Pembahasan

1.   F : x à 2x = 3

a.    F(x) = 2x – 3

b.    F(-1) = 2(-1) – 3 = -5

F(0) = 2(0) – 3 = -3

F(1) = 2(1) – 3 = -1

F(2) = 2(2) – 3 = 1

F(3) = 2(3) – 3 = 3

c.    Himpunan pasangan berurutan = {(-1,-5),(0,-3),(1,-1),(2,1),(3,3)}

d.    F(x) = 2x-3

F(10) = 2(10) – 3 = 17

2.  Ambil sembarang titik pada domain.

x	-1	0	1	2
Y = 4x-2	-6	-2	2	6

Jadi, grafik fungsi melalui titik-titik : (-1,-6), (0,2), (1,2), (2,6).

3.  Jawab :

a.    Y = 3x – 4               y = mx + c

è M = 3

Jadi, gradien garis y = 3x – 4 adalah 3

b.    2x – 5 = 7               a = 2 dan b = -5

è  

Jadi, gradien garis 2x – 5y = 7 adalah

4.  Titik (-3,0) dan (0,4)

A = -3 dan b = 4

Persamaan garisnya adalah :

è 4x - 3y = 4. (-3)

è 4x – 3y = -12

è 3y – 4x – 12 = 0

Jadi, persamaan garisnya adalah 3y – 4x – 12 = 0

5.  Persamaan garisnya :

2x – 3y     = -13  x 1     2x – 3y = -13

X + 2y      = 4     x 2     2x + 4y = 8

-7 y = -21

Y = 3

Subtitusi y = 3 ke persamaan x + 2y = 4, menjadi :

X + 2(3) = 4

X +   6   = 4

X = -2

Jadi, koordinat titik potong kedua garis adalah (-2,3).

6.  Diketahui : persamaan x – 2y + 3 = 0

è

è  

Persamaan garis melalui titik (-2,3) maka x₁ = 2 dan y₁ = -3

Persamaan garis lurus yang dicari melalui titik (2,-3) dan bergradien  adalah

Y – y₁ = m(x-x₁)

Y + 3 =  (x – 2)

Y + 3 = x – 1

2y + 6 = x – 2

X – 2y – 8 = 0

Jadi, persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis x – 2y + 3 = 0 dan melalui titik (2, - 3) adalah x – 2y – 8 = 0

7.  Diketahui : persamaan garis 6x – 3y – 10 = 0

Persamaan garis melalui titik (-3,5) dan bergradien  maka persamaannya adalah

Y – y₁ = m(x – x₁)

Y – 5 =  (x + 3)

Y – 5 = x -

2y – 10 = -x – 3

X + 2y – 10 + 3 = 0

X + 2y – 7 = 0

Jadi, persamaannya garis lurus yang melalui titik (-3,5) dan tegak lurus garis 6x – 3y – 10 = 0 adalah x + 2y – 7 = 0.

8.  Setelah 1 tahun, nilai akhir tabungan Yudhis adalah

500.000 + 500.000(0,8) = 500.000(1 + 0,08) = 500.000 (1,08) = 540.000

Nilai akhir tabungan Yudhis dapat dilihat pada tabel dibawah.

Tahun	Nilai akhir tabungan (Rp)	Pola
0	500.000	500.000 (1,08)o
1	500.000(1,08) = 540.000	500.000 (1,08)1
2	(500.000 . 1,08)(1,08) = 583.200	500.000 (1,08)2
3	(500.000 . 1,08 . 1,08)(1,08) = 629.856	500.000 (1,08)3

Dari pola diatas, nilai akhir tabungan Yudhis setelah tahun ke-n adalah 500.000 (1,08)ⁿ. setelah 10 tahun, nilai akhir tabungan Yudhis adalah 500.000 (1,08)¹⁰. Jadi, banyak tabungan Yudhis setelah 10 tahun tanpa pengambilan adalah Rp.1.079.462,50.

9.  Jawab :

a.    8 = 2³ à ²log 8 = 3

b.     = 2^-2 à ²log  = -2

10.   F(45^o) = tan 45^o = 1

F (120^o) = tan 120^o =